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顾名思义，环就是环

对于一个正整数 n，它的阶乘等于 n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times3\times2\times1=\prod\limits_{i=1}^{n}i，记作 n!。特殊地，{0!=1}。

《孙子算经》有云：

欧拉函数 \varphi(x)，表示 [1,x] 内与 x 互质的数的个数。对于质数 p 显然有 \varphi(p)=p-1。特殊地，\varphi(1)=1。欧拉函数是一个积性函数，对任意互质的数 a,b，都有 \varphi(ab)=\varphi(a)\cdot\varphi(b)。不互质时，如果 x 为奇数，那么有 \varphi(2n)=\varphi(n)。

众所周知的是，欧几里得算法可以用来求解最大公约数。它的核心是一个恒等式 \gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)，并且在 b=0 时函数值是 a。C++14 标准提供一个函数 __gcd() 来求解最大公约数，而在 C++17 以后，我们可以使用 gcd() 和 lcm() 函数来求解两个数的最大公约数和最小公倍数。

也就是说任何合数都可以唯一地表示成 p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}\dots p_n^{c_n}=\prod\limits_{i=1}^np_i^{c_i}~(c_i\in\mathbb N_+) 的形式，这条定理在之后的质数筛中有大用。