[奇技淫巧] 面向高中生の洛必达法则简述

作为一名在导数领域摸爬滚打多年的高中牲，又怎能不知道高贵的洛必达法则呢？今天从高考角度出发，简要介绍洛必达法则作为解选填题的奇技淫巧的策略。

引入

先用一个典例来引入洛必达法则：

定义函数 ，且 在 上恒成立，求 的取值范围。

解法一（正解）：端点效应

问题转化为：“ 在 时恒成立，求 的范围”。

不难发现，新函数 满足 。我们的目标就是让这个新函数恒在 轴上方，考虑 在 时的导数大于等于零——即函数在 上单调递增，即可满足题目要求。这个方法叫做端点效应法，可以用来导出满足题目要求的一个必要条件（充分性需另外证明）、或者是收缩答案的可能范围，减少复杂的分类讨论。

因此列出式子： 解得 。

证明充分性，当 时，。由于 恒成立，原不等式恒大于等于零，即 在 上恒成立， 在 上单调递增。又因为 ，所以 恒成立，原不等式得证。

当 时 ，不能保证结果恒大于等于零，原不等式不成立。综上，。

解法二：洛必达法则

考虑分离参数，得 ，令 。由题意知，需满足 。

对 求导，得 ，此时不容易看出正负，因为分母恒大于等于零，设函数 ，对其求导得 。因此 在 上单调递增。

于是 。由洛必达法则得 ，则取值范围是 。

洛必达法则

讲个笑话：洛必达法则不是洛必达提出的，而是伯努利最先发现的

首先我们要搞清楚洛必达法则的适用条件（非常非常重要，必须要知道葛军究竟是怎么出题卡掉洛必达做法的）：

不定式

to do sth.

分为两种类型，分别对应数字的两个极端。

0/0 不定式：即 ，零除以零。

/不定式：即 ，无穷大除以无穷大。

要想使用洛必达，式子必须是以上两种不定式的其中一种（正负均可）。如果你发现原始函数并不满足如上的不定式形式，则可以选择求一次导，化成如上的不定式形式。

对于两个函数 和 ，若 是一个不定式，那么不定式的值等于 ，即分子分母求导相除。

后话

无不良引导

其实，洛必达法则就这么些内容。很少，用来秒选择填空题还是可以的。大题如果实在证不出来可以考虑用这个伪证（前提是一个字都证不出来、且所在省份会给部分分数），当然这里还是建议使用正解端点效应法。我的忠告是：平时周考月考在班内秀一下就好了，市里全省大考千万不要用！