[论导必洛] 高中数学导数常见题型及解题策略详解

前言

洛必达永远都是高中数学导数教学中一个无法回避的话题。在这里用一个情景对话，让读者能够更加深切的感受到它的重要性（对话可交互）：

创意来自于写作《[奇技淫巧] 面向高中生の洛必达法则简述》时所看到的一篇博客文章里的梗图，原文网址丢失了。嵌入式框架由 Midotalk 驱动。

如何求导

非常关键的一步，是快乐地套用洛必达求极限求解一切导数题的基础。在本文正式开始之前，有必要再去帮助一些同学重新召回他们死去的记忆。

若函数 可导，那么函数 在 处的切线斜率即为 在 处的导数。

高中阶段，导数等价于过函数上某一点的切线斜率；导函数则反映了某区间所有点的导数值与自变量的关系，导函数记作 ，将横坐标 代入函数自变量即得点 处的切线斜率。

初等函数求导法则

求导的基本过程是：将原函数分为一个个初等函数，并根据这些初等函数的导函数、以及这些初等函数之前的四则运算关系拼凑出原函数的导函数。高中阶段的初等函数及其求导值如下表，应当牢牢记住：

对于指数函数和对数函数，平常考试中基本只会出现 相关的函数，以任意数为底/底数的求导是基本不会出现的。根据上表可得指数函数和对数函数在特殊情况下的导函数：

如果原函数是根式，根据指数相关知识可得，，求导即得 。

导函数的四则运算

导函数又有以下的四则运算法则：

如果考试时遇到了诸如 的函数，要对它求导算最值怎么办，我们可以通过取对数的方法将幂运算转化成乘运算，即 ；你也可以用接下来要讲的复合函数求导法则进行运算。

如果函数不是初等函数，但它是多个初等函数组成的“初等函数型”函数。我们可以用复合函数求导求出它的导函数。例如函数 ，它是由 组成的反比例型（幂函数型）初等函数，求导的方法是：先对组成它的函数（本例中为 ）求导，接着把 当成自变量 ，再对被组成的初等函数（本例中为 ）求导，二者相乘即得结果，即：

如果你实在拿不准，可以通过上面讲的导数的四则运算进行求解。

零点存在性定理

零点存在性定理告诉我们：函数 在闭区间 上连续可导，且满足 ，那么该函数在 上至少有一个零点；若该函数还满足在 上单调，那么 在 内有唯一零点。

一个很好的例子是 ，它有 ，但是 在 上有两个零点。而函数 在 上单调递增，且端点函数值相乘等于 ，因而在区间内它有唯一零点。

解题策略

参变分离

参变分离，顾名思义：是将参数与变量分离的转化方式。把待求的参数 用只含 的代数式表示出来，并依据此构造新函数，即可将问题简化成新函数与直线 的交点相关问题。适用于待求参数不是很多、较易用 表示出 的题目中。

例 2.1

函数 在 上恒成立，求 的取值范围。

在本题中，我们要求的是 ，此时 将在任意实数值见变化，因而 视作变量，而 视作一次项的参数。那么我们将含参数的项放到不等式一侧，其余的放在另一侧，可得：。

根据题中给定的 的范围（正实数），我们可以放心地不等号两侧同除以 而无需考虑不等号变号，得到：。

此时我们可以将问题转化成，当 时，上式恒成立，也即要求 。此时可以将不等式右侧的所有设为一个全新的函数 ，接下来就可以求导算它的最小值了，具体过程如下：

看到这个式子，我们可以确认的是， 仅有一个解！为什么呢？其实要想让 ，即让 ，乍一看这个很难求解 【但其实把常见的量，例如 （本例中显然不行）、、、 等代入检验就可以发现 是零点】，但实际上在本题中我们可以利用零点存在性定理来判断，我们发现它在定义域内单调递增，因此可以大胆试根，得到 为零点。再根据零点两端的导函数值可得， 为原函数的极小值点，可知 ，从而解得 。

倒数法

有时在使用参变分离的过程中，可能会遇到求解诸如 的反比例型复合函数时，此时我们不是很容易对原函数进行求导。那么我们可以考虑等号两端取倒数，转化成 ，并将等号右端的函数的取值范围求出，在倒回来即可得到 的范围。

例 2.2

(2023·安庆模拟) 已知函数 ，讨论导函数 的零点个数。

先求出定义域，显然是 。

根据题目要求，我们现对函数求导，得：

为什么我们要如此大费周章地将导函数化简？因为题目要我们讨论导函数的零点个数，化简成如上的乘积式有利于我们求出其零点。在平常的解题过程中，如果遇到看似十分复杂的含参函数，那么一定要想方设法地合并同类项，才可更加方便地求极值点。

回归正题，要求零点，即求 的解。既然此时唯一的参数是 ，我的想法是继续化简，从而达到可参变分离的程度：

此时我们就成功把参数和变量分离开来了。但先别急着构造新函数——如果直接拿它构造新函数，求导将会带来不小的麻烦，我们构造新函数（分式型），尽量让分母简单。而且注意到另一个性质： 为分母的分式型函数在求导后，分母仍然是 ，并且分子不会引入 。综上理由，可构造新函数 ，求导可得 。轻而易举可以求出导函数的零点为 或 （ 的解由于定义域问题舍去了）。我们可以列表来观察其增减性：

再求出诸极值：。此处为方便讨论/计算保留了 的值，尽管它不在定义域内。在草稿纸上可以画出对应的 的草图，那么 ，反推可得 的取值情况。

综上所述，零点个数的情况为：

洛必达法则*

经过这么久的铺垫，我们终于可以开始讲解那个为一众高中生所熟知的洛必达法则。

洛必达法则的详细证明需要用到柯西中值定理，可自行搜索。

不定式

笑话一则：英语语法中的 v. + to do sth. 也叫做不定式

在正式开始前插入这么一个小章节，是为了纠正某些同学的错误认知——逢导必洛。在使用洛必达法则前，必须先验证原函数是否符合使用它的条件。我们引入一个记号：，代表当 不断趋近于 时， 的值。

洛必达法则的基本算法是：当分式 满足不定式时，有 。

不定式可初步分为以下几个类型：、、、、、、。个个都是超标的英雄。其中以 型和 型最为常见。我们将着重讲解这两种情况。

例 3.1

若 ，不等式 恒成立，求 的范围。

同样是先求出定义域，，不影响， 仍然属于 。此时恒有 ，我们参变分离得 ，并构造函数 。

对新函数求导得 ，分子非常的复杂，单次求导无法看出增减性，因此将分子提出来得 ，求导：，好像还是无法看出正负，继续求导得 ，不够显然，继续—— 恒成立。倒推回去， 为减函数，那么仅有一个零点，试根得 ，那么 就在 上单调递减，又有 ，从而得 在 上恒成立，所以 在区间内单调递减。

就有 ，放在初中我们会说这是无意义的，但事实却未必然。我的高中数学老师曾云：“在极限的世界里，一切皆有可能！”我们发现它就是不定式中的 型，根据洛必达法则，此时 。解得 。

端点效应/必要性探路

鉴于考场上使用洛必达法则带来的不确定性，我们墙裂推荐端点效应法。事实上，洛必达能解的题，端点效应都可以解，并且端点值恰好为洛必达法则所趋近的 的取值。端点效应所具有的简洁性和无脑性让它成为后洛必达法则时代的考生新宠。

端点效应，亦可称作必要性探路法。通过“导函数在零点附近的导函数值大于/小于 来求出‘原函数在零点某侧单调递增/递减’的必要条件，继而证明这个必要条件的充分性”的基本思路来求解相关问题。此类题目中所给区间的端点的函数值恰好是 ，因而它又得名“端点效应”。

例 4.1

用端点效应，再次求解例 3.1

令函数 ，将端点值 代入，得 。要想 ，那么就有 ，解得必要条件 。

① 当 时

一定存在一个 ，使得 在 内恒成立，即 在 上单调递减。那么当 时，，不符题意，舍去。

② 当 时

放缩可得：。令 ， 恒成立。故 ，充分性得证。

故 是 的充要条件。

事实上，几乎所有端点效应的题都可以归结为以下四个步骤：

1. 试端点值，是否为
2. 端点值的导函数大于等于/小于等于 ，解出参数范围
3. 套模板，证明当参数在解得的范围之外时不符合题意
4. 将解得的范围的端点代入原函数进行放缩，证明充分性