圆锥曲线 解题指导及二级结论

前言

做这篇文章最初的缘由，似乎也早已忘却了，大抵是期中时拍拍脑子生出的主意，然终竟无法再考究了……然而既已入年，我想自己许是有些寂寞而无所事事了。恰逢 Lucas 君邀我做一篇圆锥曲线的文章，他仿佛有点谑我的意思，欲以此指代方才过去的令人悲哀的数学考题，我举起手机只是说：

“假如一道圆锥曲线填空压轴，它是没有常数且万难算出的，考场上有许多没背二级结论的高中生，见到就跳过了，然而是舍小保大，并不感到挂科的悲哀。现在你教他们背二级结论，说动了想冲高分的几人，使这不幸的少数者来受知晓结论而仍解不出的可能挂科的苦楚，你倒以为对得起他们么？”

“然而几个人既然背了，你不能说决没有解出这个题的希望。”

是的，我虽然自有我的确信，然而说到希望，却是不能抹杀的。因为希望是在于将来，决不能以我之必无的证明，来折服了他之所谓可有，于是我终于答应他也做圆锥曲线的文章了。

二零二五年一月十七日，记于成都

初版完稿之后，我托 T 先生将网页影印出来。于是每逢覆习圆锥曲线的章节，我便很受益于这装订整齐的纸版网页——大多是当作解题的参考、或是在邻桌面前炫耀一番，于是兴味既已起来，以至于下来的讲评一概是专注的。某日，T 先生又复习到这章，照例布置几道习题，我便反射似的去检我的资料。然而翻来覆去几道，也终于未见任何形似“蒙日圆相关三角形面积最值”的条目了。恰逢邻桌探头，豫备找我要资料钞了：

“你的资料，可是写了这些？”

“没有……后面将要讲的‘坎迪定理’也是没有的……”

“那你这些还有啥用？”

信然，情况乃不同于先前，而且推我到达颇为尴尬的境地。这“尴尬”倒并非全在于邻桌的“有啥用”之类的质问，结论搜罗不尽的怅惘，也是有的。这又使我忆起启蒙时所听闻的“纪昌学射”的故事来——能遇见资料之所未有的结论，大抵是我自己在精进罢！于是便于邻桌商讨豫备补录的结论，而且誓言邻桌终于将要补这圆锥曲线的文章了。

二零二五年十一月二日，于成都寓所补录文章时记

切线方程 & 切点弦方程

切线方程是圆锥曲线中十分常用的附属结论，尽管它与圆锥曲线没有直接关系，但是它在设直线，尤其是证明蒙日圆、阿基米德三角形的相关结论时候有大用。可惜的是，该结论并不属于数学教材中推导并证明的定理，因此原则上不能在考场上不加证明地使用。本章将对这两类方程的求法进行简要介绍和推导。

切线/切点弦方程的求法几乎相同，可以用“均分次数，均分系数”八个字概括。例如，我们要求椭圆/双曲线 在 的切线方程，只需遵循如下步骤：

1. 均分次数：将 项平分为两个一次项，其中一个一次项替换为横坐标 ， 项同理。其他不变。

做完后可以得到切线方程 。

如果是抛物线 呢？此时就需要齐上阵了，步骤如下：

1. 均分次数：同上，将 替换成 。保持一次项和常数项（若有）不变。
2. 均分系数：将一次项 的系数平分，得到 ，其中一个 替换为横坐标。

做完后可得切线方程 。切点弦方程也是如此求法，一模一样。

切线方程

为什么上面讲到的八字真言会有效呢？接下来我们来证明切线方程。

评析：可以有多种方法，其中一种是对圆锥曲线（隐函数）求导并代入得到切线方程；另外一种就是相当普通的解析几何方法。我们着重介绍后者，因为你可以毫无顾忌地把它呈现在你的解题过程中。

证明：

设切点 。

现证椭圆的情况，双曲线同理（为节省篇幅不给出证明），设椭圆方程 ，那么有 。

设切线 ，化简得 ，与椭圆方程联立：

得：

代入点 反解得切线方程 ，整理得 。

接下来证明抛物线的情况，设抛物线方程 ，代入切点有 。

仍然设切线 ，化简得 ，与抛物线方程联立：

得：

代入点 ，反解得切线方程 ，整理得 。

证毕。

拓展变形：

在本节证明中，我们反复运用圆锥曲线方程找到 与 、 与 的等量关系，并且多次代换消去变量或得到易于化简的形式。该思想在圆锥曲线的诸多计算中均有体现。

微拓展——隐函数求导法求解切线方程

高中所学的求导方法均是对形如 的函数求导，但是对于圆锥曲线，情况就不一样了。圆锥曲线方程中出现了 项（根据函数定义，它甚至不能被称作函数，只能称作方程），初等的求导方法没有涉及。此时就需要利用隐函数相关知识，对圆锥曲线方程进行求导操作。

例如有椭圆方程 ，我们想求出方程的极大值（即上/下顶点），该怎么办呢？

椭圆方程是一个隐函数，对其求导。简单来讲分如下几步：

1. 按照标准求导法则，对每一项按照高中所学的求导法则计算。此时 。
2. （这是隐函数求导的关键一步）在所有 项后再乘上 ， 即为方程的导数。此时 。
3. 移项解出 。此时 。

得到了导数，令 ，解得 ，再代入椭圆方程解得 ，取舍可得极（最）大值为 。

再如给定的抛物线方程 ，要求它在点 的切线方程。隐函数求导得 ，解得 ，可得切线斜率 ，切线方程为 。代入本节所讲的切线方程验证，答案同样是直线 。

如果并非标准（中心不一定在原点、不一定关于坐标轴对称）的椭圆方程怎么办？假设非标准的方程是 （经过一定旋转的双曲线）。我要求过该方程上一点 的切线方程，那么隐函数求导：

代入点 ，可得 ，切线方程 。本推导中我们需要掌握 项的求导方法，利用导数乘法法则（前导后不导，后导前不导），得到 。我们又可以总结得到：对 求导变常数，对 求导变 。

隐函数相关知识在后面的新定义曲线的极值计算有大用。

切点弦方程

切点弦方程的计算方法与切线方程的计算方法一模一样，它们之间有什么奇妙的联系？

评析：证明需要利用同构方程的思想。对初识者来讲可能稍难理解。

证明：

设曲线外一点 ，引圆锥曲线的两条切线，切点为 。

以椭圆为例，可得 。它们的交点为 ，代入也成立，二直线方程变形为：

将 看做常量，它们都满足同一个方程 。所以 ，而 为直线方程， 又是切点弦，于是切点弦方程就是 。

证毕。

圆锥曲线 定义与 双球模型

很多同学十分了解圆锥曲线的求法、形状以及特征量关系，但是对它的起源却知之甚少。顾名思义，圆锥曲线必定和“圆锥”有关。事实上——正如引言所说，用一个不垂直圆锥的轴的平面去截圆锥，若得到一个平面，那么该截面的形状必定是椭圆、双曲线、抛物线其一，见下图：

当然，也存在一些特殊情形。例如当截面过圆锥顶点时，可能截出一个点，此时我们称这个圆锥曲线是退化的。退化的圆锥曲线在高中阶段没有讨论的必要，因此后文所有的圆锥曲线如无特殊说明均指代非退化的圆锥曲线。

了解了圆锥曲线的来源，那么我们将以何种方式求解这个截面曲线（圆锥曲线）的解析式呢？如果表示出平面和圆锥，再硬算交集曲线，显然划不来。200 多年前，人们发现了 双球模型。如图：

该模型的主要内容是（椭圆为例）：两个球体与圆锥内表面相切，同时与形成圆锥曲线（此处为椭圆）的截面相切，它们与截面的交点为这个圆锥曲线（此处为椭圆）的两个焦点，因此 双球有时又叫做“焦球”。

截口曲线

设双球与截口曲线的切点分别为 ，那么该截口曲线为以这两点为焦点的圆锥曲线（本例为椭圆）

评析：可以利用切线长定理的三维形式来解决。

证明：

本结论证明过程中的标记与下图相同：

根据切线长定理的扩展，可得线段长满足 ，那么 ，线段长 显然为定值。那么接口曲线为椭圆，线段长 视作椭圆（第一）定义中的 ，同时可得 为焦点。

证毕。

拓展变形：关于切线长定理及其三维扩展形式。

我们初中就知道，过圆外一点引圆的两条切线，那么该点与两个切点分别连成的线段长度相等。那么为什么这个结论放在球体中也成立呢？先来看看推论内容：

在三维空间中，过球体外一点引球体的若干切线，那么这些切线长均相等。

只引出两条切线时，过这两个切点可以截出一个圆形，此时与二维形式相同。如果切线多于两条，我们可以将球外的点与球心相连，然后连接球心与切点，它与切线必垂直，因此所有切线长度均为 ，其中 为圆外点与圆心距离、 为球半径。

焦点

如图， 双球与截面圆锥曲线的切点为该圆锥曲线的焦点。线段长满足 。

评析：利用切线长定理可以证明该结论。

证明：

根据切线长定理，左侧母线有 ；右侧母线有：。因此有 。

该模型的已知条件是： 为截面圆锥曲线的长轴端点，因此 ；并且 。图中 ，因而又有 。

对等式两边同时减去公共线段长 得：，因此 ，同理可得 。用 表示各边，即 ，所以 。

证毕。

离心率

如上图，截面截出的圆锥曲线离心率为 ，其中 分别为 。或者 ，其中 分别为 与圆锥高的夹角。

评析：在 里用正弦定理证明。

证明：

在 中，正弦定理有 ，与 等价。

证毕。

椭圆 基础二级结论

椭圆定义（第一定义）：平面内一动点到两定点的距离之和为定值，该动点轨迹是以该定点为焦点的椭圆。

第二定义：平面内一动点到一个定点（焦点）与到一条定直线（准线）之比为一个常数（离心率）时，该动点轨迹为椭圆。

第三定义：平面内一动点到两定点的直线斜率之积为常数 ，该动点的轨迹是以该定点为长轴两端点（不含）的椭圆。

基本特征量（本章证明过程中如非特殊说明，所出现的字母量意义均与以下列表相同）：

1. 长半轴：，短半轴：，半焦距：，离心率：
2. 准线横/纵坐标绝对值：
3. 焦准距（焦点到准线距离）：

若无特殊说明，椭圆标准方程 均满足 ，焦点在 轴上。且若无特殊指明，“椭圆 ”均指上述的椭圆 。

通径

在椭圆 中，与焦点所在轴垂直的焦点弦被椭圆截得线段的长称作其通径。椭圆的通径长 。

评析：直接将横坐标 代入即可解得纵坐标，通径长为纵坐标绝对值的二倍。

证明：

横坐标 代入椭圆解析式：

得到 。

因为在椭圆中有 ，因此 ，椭圆离心率还可以表示成 。代入得：

此时 。

证毕。

圆周定理

在椭圆 中， 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上异于 的一点。那么直线 的斜率之积为 。

评析：也不需要什么特殊的技巧，就是设点硬算。这个结论是必背的经典二级结论之一。

证明：

设 。那么两直线斜率之积可以表示为 ，即：

三点都在椭圆上，代入椭圆解析式得关系式：

将 和 用 表示出来：

证毕。

拓展变形：

我们默认椭圆的焦点位于 轴，那万一焦点在 轴上呢？首先我们需要保证较大的分母为 ，较小的为 ，例如 ，此时 ，现在的两直线斜率之积为 ，即 ，分子分母调换了！做题时一定要注意，证明方法同上。

当其中一个定点恰好位于长轴端点时，得到椭圆第三定义。

广义垂径定理/中点弦公式

在椭圆 中， 为椭圆上两点， 为弦 的中点，那么直线 与直线 的斜率之积为 。

评析：处理中点的方法一共有两个——常规联立法和点差法。此处我们使用第一种，因为韦达定理可以很轻松的表示出中点的坐标；同时设出直线 代表我们可以只用一个 表示其斜率，由于 过原点，表示它的斜率也是容易的。那我们就开始吧。

证明：

设直线 。斜率不存在时无意义，故斜率一定存在。联立方程：

得：

根据韦达定理得：

因此 。得到斜率乘积为 。

证毕。

拓展变形：易错点与上一个结论相同，焦点所在坐标轴改变后，乘积会从原先的 变成 。

焦半径公式（点坐标版）

令 为椭圆 的左右焦点， 为椭圆上一点，那么 。其中 ，即椭圆的离心率。

评析：这个结论其实就是椭圆第二定义的变形式，不信你看。

证明：

先证 。对于 来说，对应的准线为直线 。根据椭圆第二定义有：

再证 。其实根据椭圆第一定义 即可推出它，但是我们继续用第二定义推导。此时对应的准线是直线 ：

证毕。

拓展变形：

焦点在 轴上时，结论变为 。

该结论适用性较差，建议背诵并掌握焦半径公式（斜率版）。

焦半径公式（斜率版）

设焦点弦 与椭圆交于 两点，焦点弦倾斜角为 ，有焦半径公式 ，焦点弦长 。

评析：可以从点坐标法的结论出发，用斜率、焦准距相关量表示出公式中 ，化简即可得到结果。

证明：

为稍微节省篇幅，只证其中一边。

由上证明可得 ，现代换 。过 作 轴垂线，垂足为 ，如下图：

可知 ，现有 ，进行化简：

另一端同理，二者相加得到焦点弦长公式 。

证毕。

拓展变形：

如何记忆分母是 还是 呢？画出草图，看看焦半径孰长孰短，再选用相应的公式，是一种比较简便的方法。