切线方程#

为什么上面讲到的八字真言会有效呢？接下来我们来证明切线方程。

评析：可以有多种方法，其中一种是对圆锥曲线（隐函数）求导并代入得到切线方程；另外一种就是相当普通的解析几何方法。我们着重介绍后者，因为你可以毫无顾忌地把它呈现在你的解题过程中。

证明：

设切点 $P(m,n)$。

现证椭圆的情况，双曲线同理（为节省篇幅不给出证明），设椭圆方程 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，那么有 $\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}=1$。

设切线 $l:y-n=k(x-m)$，化简得 $y=kx-mk+n$，与椭圆方程联立：

得：

代入点 $P(m,n)$ 反解得切线方程 $l:y-n=-\frac{b^2m}{a^2n}(x-m)$，整理得 $l:\frac{m}{a^2}x+\frac{n}{b^2}y=1$。

接下来证明抛物线的情况，设抛物线方程 $C:y^2=2px$，代入切点有 $n^2=2pm$。

仍然设切线 $l:y-n=k(x-m)$，化简得 $y=kx-mk+n$，与抛物线方程联立：

得：

代入点 $P(m,n)$，反解得切线方程 $l:y-n=\frac{p}{n}(x-m)$，整理得 $l:ny=px+pm$。

证毕。

拓展变形：

在本节证明中，我们反复运用圆锥曲线方程找到 $a^2$ 与 $b^2$、$m^2$ 与 $n^2$ 的等量关系，并且多次代换消去变量或得到易于化简的形式。该思想在圆锥曲线的诸多计算中均有体现。

微拓展——隐函数求导法求解切线方程

高中所学的求导方法均是对形如 $y=\dots$ 的函数求导，但是对于圆锥曲线，情况就不一样了。圆锥曲线方程中出现了 $y^2$ 项（根据函数定义，它甚至不能被称作函数，只能称作方程），初等的求导方法没有涉及。此时就需要利用隐函数相关知识，对圆锥曲线方程进行求导操作。

例如有椭圆方程 $E:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，我们想求出方程的极大值（即上/下顶点），该怎么办呢？

椭圆方程是一个隐函数，对其求导。简单来讲分如下几步：

1. 按照标准求导法则，对每一项按照高中所学的求导法则计算。此时 $E_1:\frac{2x}{9}+\frac{2y}{4}=0$。
2. （这是隐函数求导的关键一步）在所有 $y$ 项后再乘上 $y^\prime$，$y^\prime$ 即为方程的导数。此时 $E^\prime:\frac{2x}{9}+\frac{2yy^\prime}{4}=0$。
3. 移项解出 $y^\prime$。此时 $y^\prime=-\frac{4x}{9y}$。

得到了导数，令 $y^\prime=0$，解得 $x=0$，再代入椭圆方程解得 $y=\pm2$，取舍可得极（最）大值为 ${2}$。

再如给定的抛物线方程 $C:y^2=4x$，要求它在点 $(1,2)$ 的切线方程。隐函数求导得 $2yy^\prime=4$，解得 $y^\prime=\frac{2}{y}$，可得切线斜率 $k=1$，切线方程为 $y=x+1$。代入本节所讲的切线方程验证，答案同样是直线 $y=x+1$。

如果并非标准（中心不一定在原点、不一定关于坐标轴对称）的椭圆方程怎么办？假设非标准的方程是 $E:\frac{x^2}{4}+3xy+\frac{y^2}{8}-8=0$（经过一定旋转的双曲线）。我要求过该方程上一点 $(0,8)$ 的切线方程，那么隐函数求导：

代入点 $(0,8)$，可得 $k=-12$，切线方程 $l:y=-12x+8$。本推导中我们需要掌握 $xy$ 项的求导方法，利用导数乘法法则（前导后不导，后导前不导），得到 $(xy)^\prime=1y+xy^\prime$。我们又可以总结得到：对 $x$ 求导变常数，对 $y$ 求导变 $y^\prime$。

隐函数相关知识在后面的新定义曲线的极值计算有大用。

切点弦方程#

切点弦方程的计算方法与切线方程的计算方法一模一样，它们之间有什么奇妙的联系？

评析：证明需要利用同构方程的思想。对初识者来讲可能稍难理解。

证明：

设曲线外一点 $P(x_0,y_0)$，引圆锥曲线的两条切线，切点为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。

以椭圆为例，可得 $AP:\frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=1,BP:\frac{x_2}{a^2}x+\frac{y^2}{b^2}y=1$。它们的交点为 $P(x_0,y_0)$，代入也成立，二直线方程变形为：

将 $a,b,x_0,y_0$ 看做常量，它们都满足同一个方程 $f(X,Y)=\frac{x_0}{a^2}X+\frac{y_0}{b^2}Y=1$。所以 $A,B\in f(X,Y)$，而 $f(X,Y)$ 为直线方程，$AB$ 又是切点弦，于是切点弦方程就是 $AB:\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}=1$。

证毕。

截口曲线#

设双球与截口曲线的切点分别为 $F_1,F_2$，那么该截口曲线为以这两点为焦点的圆锥曲线（本例为椭圆）

评析：可以利用切线长定理的三维形式来解决。

证明：

本结论证明过程中的标记与下图相同：

根据切线长定理的扩展，可得线段长满足 $PF_1=PK_1,PF_2=PK_2$，那么 $PF_1+PF_2=PK_1+PK_2=AD$，线段长 $AD$ 显然为定值。那么接口曲线为椭圆，线段长 $AD$ 视作椭圆（第一）定义中的 $2a$，同时可得 $F_1,F_2$ 为焦点。

证毕。

拓展变形：关于切线长定理及其三维扩展形式。

我们初中就知道，过圆外一点引圆的两条切线，那么该点与两个切点分别连成的线段长度相等。那么为什么这个结论放在球体中也成立呢？先来看看推论内容：

在三维空间中，过球体外一点引球体的若干切线，那么这些切线长均相等。

只引出两条切线时，过这两个切点可以截出一个圆形，此时与二维形式相同。如果切线多于两条，我们可以将球外的点与球心相连，然后连接球心与切点，它与切线必垂直，因此所有切线长度均为 $\sqrt{D^2-R^2}$，其中 $D$ 为圆外点与圆心距离、$R$ 为球半径。

焦点#

如图，$\texttt{Dandelin}$ 双球与截面圆锥曲线的切点为该圆锥曲线的焦点。线段长满足 $EQ=PG=AB=2a,BH=2c$。

评析：利用切线长定理可以证明该结论。

证明：

根据切线长定理，左侧母线有 $AQ=AF,AD=AE$；右侧母线有：$BP=BF,BD=BG$。因此有 $AD+AF=BF+BD=EQ=PG$。

该模型的已知条件是：$A,B$ 为截面圆锥曲线的长轴端点，因此 $AB=2a$；并且 $DF=2c$。图中 $AH// A_1B_1$，因而又有 $AE=GH$。

对等式两边同时减去公共线段长 $DF$ 得：${2}AD=2BF\rightarrow AD=BF$，因此 $EQ=AD+AF=BF+AF=AB=2a$，同理可得 $PG=AB=2a$。用 $a,c$ 表示各边，即 $BD=BG=a+c,BF=a-c$，所以 $BH=BG-GH=BG-AE=BG-AD=BD-AD=(a+c)-(a-c)=2c$。

证毕。

离心率#

如上图，截面截出的圆锥曲线离心率为 $e=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$，其中 $\alpha,\beta$ 分别为 $\angle AHC,\angle BAH$。或者 $e=\frac{\cos\gamma}{\cos\theta}$，其中 $\gamma,\theta$ 分别为 $AB,AC$ 与圆锥高的夹角。

评析：在 $\triangle ABH$ 里用正弦定理证明。

证明：

在 $\triangle ABH$ 中，正弦定理有 $e=\frac{BH}{AB}=\frac{c}{a}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$，与 $\frac{\cos\gamma}{\cos\theta}$ 等价。

证毕。

焦半径#

共焦点的椭圆和双曲线满足 $|PF_1|=a_1+a_2,|PF_2|=a_1-a_2$。

评析：注意利用好椭圆和双曲线的定义。

证明：

在椭圆中，有 $|PF_1|+|PF_2|=2a_1$；在双曲线中，有 $|PF_1|-|PF_2|=2a_2$，两式相加得 ${2}|PF_1|=2a_1+2a_2$，相减得 ${2}|PF_2|=2a_1-2a_2$。由此得到：

证毕。

离心率与角的关系#

共焦点的椭圆和双曲线满足 $\dfrac{\sin^2\frac{\theta}{2}}{e_1^2}+\dfrac{\cos^2\frac{\theta}{2}}{e_2^2}=1$

评析：同样是有角有边，考虑正/余弦定理。这个结论可以帮助你快速解决诸如 $e_1^2e_2^2,\frac{1}{e_1^2}+\frac{1}{e_2^2}$ 等式子的最值问题。

证明：

借用上一节的焦半径结论，并综合余弦定理，可以得到：

证毕。

拓展变形：正余弦函数的升幂/降幂公式。

由余弦的二倍角公式 $\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}$，得到 $\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2},\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}$。即证得降幂公式。事实上，余弦的二倍角公式就是升幂公式。

轨迹方程（解析法）#

椭圆 $E$ 对应的蒙日圆方程为 $x^2+y^2=a^2+b^2$。

评析：没有感情，只有设点。

证明：

切线斜率不存在时，$P(\pm a,\pm b)$，显然在圆 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上。

切线斜率存在时，设 $PM:y=kx+m$，则根据垂直关系有 $PN:y=-\frac{1}{k}x+n$。

联立 $PM$ 与椭圆方程，并根据相切关系得：

同理可得 $\frac{a^2}{k^2}+b^2-n^2=0\rightarrow a^2+b^2k^2=n^2k^2$。

联立两直线方程得到 $P\left(\frac{k(n-m)}{k^2+1},\frac{nk^2+m}{k^2+1}\right)$，此时 $|OP|^2=\frac{n^2k^2+m^2}{k^2+1}=\frac{a^2+b^2k^2+a^2k^2+b^2}{k^2+1}=a^2+b^2$。因此 $P$ 在圆 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上。

证毕。

轨迹方程（几何法）#

该方法由一位与我同班的数竞大佬提供。证明相关辅助线如下图：

证明：

点 $A$ 向椭圆 $E$ 引两条垂直切线，切点分别为 $A,B$。作两焦点 $F_1,F_2$ 关于 $AB,AC$ 的对称点 $F_1^\prime,F_2^\prime$。如图连接线段。

由椭圆光学性质可得，$F_1,C,F_2^\prime$ 三点共线；$F_2,B,F_1^\prime$ 三点共线。又有对称关系，可得 $AF_1=AF_1^\prime,AF_2=AF_2^\prime,BF_1=BF_1^\prime,AF_2=AF_2^\prime$，从而有 $F_1^\prime F_2=F_2^\prime F_1=2a=$。

三边相等，据此判定 $\triangle AF_2F_1^\prime\cong\triangle AF_2^\prime F_1$。有 $\angle F_1AF_2^\prime=\angle F_1^\prime AF_2$。

同时减去公共角 $\angle F_1AF_2$ 得 $\angle F_1^\prime AF_1=\angle F_2^\prime AF_2$，再根据对称关系，有 $\angle F_1^\prime AD=\angle DAF_1=\angle F_2AE=\angle EAF_2^\prime$。

已知 $\angle BAC=90\degree$，那么 $\angle F_1AF_2^\prime=\angle F_1AE+\angle EAF_2^\prime=\angle F_1AE+\angle DAF_1=\angle BAC=90\degree=\angle F_1^\prime AF_2$。

在有公共边的两三角形 $\triangle AOF_1,\triangle AOF_2$ 中，有 $\angle AOF_1+\angle AOF_2=180\degree$，根据余弦定理有：

证毕。

几何性质 其一#

蒙日圆上一点 $P$ 引出的两条切线交蒙日圆于 $C,D$ 两点，直线 $CD$ 过原点。

评析：无

证明：

根据圆内直径所对的圆周角恒为直角的关系，可得 $CD$ 为蒙日圆直径，即 $C,O,D$ 三点共线、$CD$ 过原点。

证毕。

广义垂径定理#

$P$ 为蒙日圆上一点，过 $P$ 作椭圆 $E$ 的两条切线 $PA,PB$，切点为 $A,B$，连接 $OP$，则 $k_{OP}\cdot k_{AB}=-\frac{b^2}{a^2}$。

评析：利用圆锥曲线的切点弦方程即可快速解决。

证明：

令 $P(x_0,y_0)$，那么 $k_{OP}=\frac{y_0}{x_0}$。根据圆锥曲线的切点弦公式，得到切点弦 $AB:\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$，得到 $k_{AB}=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$。相乘即得结果 $-\frac{b^2}{a^2}$。

证毕。

拓展变形：椭圆交点所在坐标轴变化后仍然会变成 $-\frac{a^2}{b^2}$。同时根据结果和中点弦公式可以得知 $AB$ 与 $OP$ 的交点 $M$ 为 $AB$ 中点。

几何性质 其二#

蒙日圆上一点 $P$ 向椭圆引两条切线 $PA$ 和 $PB$，交椭圆于 $A,B$，交蒙日圆于 $C,D$，$OP$ 交 $AB$ 于 $M$ 点，有 $AB//CD$。

评析：利用几何关系进行证明。前置是上面的广义垂径定理和几何性质一。

证明：

根据蒙日圆，得到顶角 $\angle APB=90\degree$。根据上面广义垂径定理得到的 $M$ 为 $AB$ 中点的关系，结合直角三角形斜边上的中线定理，可以得到 $PM=PA=PB$，所以 $\angle APO=\angle OAP$。同样在大直角三角形 $PCD$ 中类似地又有 $\angle DCP=\angle OAP$，因此 $\angle DCP=\angle APO$。同位角相等，两直线平行。

证毕。

拓展变形：根据这条性质，广义垂径定理可以推广成 $k_{OP}\cdot k_{CD}=-\frac{b^2}{a^2}$。

几何性质 其三#

从蒙日圆上一点 $P$ 向椭圆 $E$ 引两条切线 $PA,PB$，切点为 $A,B$。那么 $k_{OA}k_{AP}=k_{OB}k_{BP}=-\frac{b^2}{a^2},k_{OA}k_{OB}=-\frac{b^4}{a^4}$。

评析：运用切线公式和已知的垂直条件快速解题。

证明：

令 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则根据切线公式得 $PA:\frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=1$，斜率为 $-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}$，乘积为 $-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}\cdot\frac{y_1}{x_1}=-\frac{b^2}{a^2}$。同理可以证得 $k_{OB}k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}$。

综合以上两式 $k_{OA}k_{PA}=k_{OB}k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}$，得 $k_{OA}k_{OB}k_{PA}k_{PB}=\frac{b^4}{a^4}$，根据蒙日圆的切线垂直条件 $k_{PA}k_{PB}=-1$，得到 $k_{OA}k_{OB}=-\frac{b^4}{a^4}$。

证毕。

几何性质 其一#

阿基米德三角形在抛物线上的弦的中点为 $M$，那么该弦所对的顶点 $P$ 满足 $PM//x$。

评析：巧妙运用切线方程解决问题。

证明：

令弦的端点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，点在抛物线上得 $x_1=\frac{y_1^2}{2p},x_2=\frac{y_2^2}{2p}$。根据切线方程得 $PA:y_1y=px+px_1$，同理得 $PB:y_2y=px+px_2$，联立解得交点 $P(\frac{y_1y_2}{2p},\frac{y_1+y_2}{2})$。中点得 $M(\frac{y_1^2+y_2^2}{4p},\frac{y_1+y_2}{2})$，得到 $PM//x$。

证毕。

几何性质 其二#

当阿基米德三角形在抛物线上的弦过定点 $G(x_0,y_0)$ 时，该弦所对顶点的运动轨迹为 $y_0y=p(x+x_0)$。

评析：利用切点弦公式，或者是几何性质一可以证明。此处选用几何性质一进行证明。

证明：

令底边 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，根据几何性质一得顶点 $P(\frac{y_1y_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。因为定点 $G$ 在 $AB$ 上，应有 $k_{AB}=k_{AG}$，即：

因此 $P$ 在直线 $y_0y=p(x+x_0)$ 上。

证毕。

拓展变形：此结论的推论有——当底边过焦点时，顶点的轨迹为抛物线准线；底边过 $x$ 轴定点 $(a,0)$ 时，顶点轨迹为直线 $x=-a$。

几何性质 其三#

当阿基米德三角形的底边过焦点时，阿基米德三角形的顶角为 ${90}\degree$，即 $PA\perp PB$。

评析：可以借助几何性质一来快速解决。

证明：

令 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由几何性质一可得 $P(\frac{y_1y_2}{2p},\frac{y_1+y_2}{2})$。两切线斜率之积为：

最后联系到抛物线焦点弦定理中 $y_1y_2=-p^2$（设直线代入韦达定理得出）可以得到斜率之积为 $-1$，即两直线垂直。

证毕。

几何性质 其四#

在阿基米德三角形中，恒有 $\angle PFA=\angle PFB$。

评析：几何法搭配解析几何解题较为快速。

证明：

过 $A,B$ 分别作准线的垂线 $AA_1,BB_1$，垂足为 $A_1,B_1$，连接 $A_1P,B_1P,A_1F$，$A_1F\cap AP=O$，如下图：

令 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，根据切线公式可得 $PA:y=\frac{p}{y_1}x+\frac{px_1}{y_1}$，得到斜率 $k_{PA}=\frac{p}{y_1}$。由垂直得 $A_1(-\frac{p}{2},y_1)$，因此 $A_1F$ 斜率为 $-\frac{y_1}{p}$，乘积为 $-1$，有 $AP\perp A_1F$。

在抛物线中，有 $|AA_1|=|AF|$，根据直角三角形 HL 型全等得 $\triangle A_1AO\cong\triangle FAO$，进而有 $\angle A_1AO=\angle FAO$；再次可 SAS 证得 $\triangle A_1AP\cong\triangle FAP$。

仿照上述全等推导可证得 $\triangle BFP\cong\triangle BB_1P$。那么 $\angle PFB=\angle BB_1P,\angle PFA=\angle PA_1A$。

根据几何性质一可得，$y_P=\frac{y_1+y_2}{2}$，就有 $A_1P=B_1P$，$\angle PA_1B_1=\angle PB_1A_1$，因此 $\angle PA_1A=\angle PB_1B=90\degree+\angle PA_1B_1$，进而得到 $\angle PFB=\angle PFA$。

证毕。

几何性质 其五#

在阿基米德三角形中，有 $|AF|\cdot|BF|=|PF|^2$。

评析：根据性质一得出的点的坐标代入计算即可验证。

证明：

根据性质一可得 $P(\frac{y_1y_2}{2p},\frac{y_1+y_2}{2})$，距离公式可得 $|PF|^2=(\frac{y_1y_2}{2p}-\frac{p}{2})^2+(\frac{y_1+y_2}{2})^2=\frac{p^2}{4}+\frac{y_1^2y_2^2}{4p^2}+\frac{y_1^2+y_2^2}{4}$。