电阻六讲 高中物理测量未知电阻实验总结

前言

这回没有蹩脚的文言文来影响观感了。

未知电阻的测量实验已经成为高考物理考试的实验重头戏（电学实验中与之并肩的就是测电源电动势和内阻的实验）。相比初中接触的简单的伏安法测电阻，高中教材不仅对伏安法进行了内接和外接的细分，而且还引入了实际生活中很常见的欧姆表（万用电表）测量法，以及生活中不那么常见的半偏法、电桥法、伏伏法、安安法等测量法。熟悉这些测量方法，你将在物理电学实验板块获得极大提升、甚至可能练就百题不错之身！

本文所述测量方法大致按照由易到难的顺序排列。

前置 分压与限流

何为限流式/分压式

限流式电路如下：

可以发现限流式电路的滑动变阻器和待测电阻是一同串联在电路中的。

分压式电路如下：

可以发现从滑动变阻器开始，未知电阻和测量仪器被并联出去了。

为什么选择分压式

从命题角度来说：初中阶段接触的是限流式解法，而高中阶段新介绍了分压法，就考试来说肯定首选分压法！

从各自的优缺点来说，限流式电路的优点很明显是简单易连接，但缺点也很明显——当滑动变阻器的最大阻值相对未知电阻来说太小时无法起到明显变动电路电流的效果；同时它还无法做到让电压表（未知电阻两端）的示数从零开始调节，浪费了很多资源。那么分压法就可以用一个小量程的滑动变阻器大幅扰动未知电阻所在电路的电流。

以上面的分压法电路图为例：当滑动变阻器的滑片在最左侧时，上半部分（未知电阻和电表）分压为 ；在右侧时分压为外电压 （注意因为可能涉及到电源内阻的影响，此处为外电压而非电源电动势）。我们惊讶地发现，采用分压式接法，电路电流可变范围较大、且不受滑动变阻器最大阻值影响。综上，在高中阶段应该使用对实验本身更为有利的分压式接法。

但是分压式也有缺陷，就是比较难接。

伏安法

伏安法是最为基础的电阻测量法，它的理论基础是电阻的定义式 。

何为内接法/外接法

上为外接法，下为内接法。通俗来讲，内外是根据电压表是否同时在测量电流表的分压而定的。如果电流表的分压也在被电压表测量，那么就是内接法，对应到电路图就是电流表被电压表“包裹”在导线之内；反之则是外接法，电流表在电压表的“包围圈”之外。

选择依据

首先需要明确两种接法的误差来源。对于外接法，电流表会计入电压表的分流，导致测得的电流值偏大，从而计算结果偏小；对于内接法，电压表会计入电流表的分压，导致测得的电压值偏高，从而计算结果偏大。

对于两个电表都已知，或者是知道其中某个电表的具体内阻，就根据已知内阻的电表选择相应的接法。例如，已知电压表内阻，而电流表内阻未知，应选择外接法，因为内接法会计入电流表电压，它是未知的，已知的只有它的示数，所以应用外接法。反之亦然。

对于电表内阻未知的情况。如某口诀所云：“大内偏大，小外偏小”。指的是大电阻用内接法，测量结果偏大；小电阻用外接法，测量结果偏小。当 时则算小电阻，那为什么要这样选择呢？

如果定值电阻的阻值与电流表相近，那么电流表带来的影响相对就较大；反之就是电压表影响较大。例如大电阻与电压表的内阻更接近，电压表对分压的影响较大。因此当 时，即 时，我们更应该选择电流表在电压表之外的外接法。

图像分析

理想状况下，定值电阻的伏安图像是一条过原点的直线。在 图（横轴 纵轴 ）中，直线的斜率即为定值电阻阻值。

欧姆表测量法

科技进步带来许多便捷，其中就包括欧姆表。它的欧姆档内部是一个（或多个）内置电源，以及一个滑动变阻器，它们会随着量程档位的调整而产生变化。在考试中，欧姆表的原理及操作考察较为常见。

欧姆表基本原理

欧姆表的内部内置了一个电源，以及一个表头（用来读数），和一个滑动变阻器。三者串联在一起，两头是红黑表笔。其中红表笔在内电源负极侧，黑表笔在内电源正极侧。电表均遵循“红进黑出”的原理，即电流从红笔流入、黑笔流出，那么根据此理，内电源正极就应连接黑表笔，反之亦然。欧姆表表盘的左侧是无穷大，右侧是 ，这和电压表、电流表的左小右大有所不同。

测量时，我们可以表示出回路的电流。即 ，其中 为电源内阻、 为表头内阻、 为滑动变阻器电阻、 为待测电阻。 变化，回路电流也跟着变化。因此将表头绘制上电流对应的电阻值即可实现测量。进一步地，由电流表达式可得——电流与 的变化关系是类似于反比例函数的形式，这样就解释了欧姆表刻度不均匀的原因了。

欧姆表基本操作

首先需要机械调零，针对没有短接表笔时刻度未指向正无穷的情况。接下来才是欧姆调零，每次换挡测量前都需要短接表笔进行欧姆调零。接下来可以将红黑表笔接在电阻两端，结合所选挡位，可以简单计算出电阻的阻值。将表盘数字和挡位对应倍率相乘即可得到真实阻值。

总结一下就是：表笔靠上，直接读数。

欧姆表的特殊值

或许你会疑惑，欧姆表不同挡位对应的内阻是多少呢？要解决这个问题，要先从多档位欧姆表的内部结构开始。基本结构如下图：

不难发现，具有内电源的 号触头对应着欧姆档。

当我们短接表笔，表头处于满偏（注意此时读数为 ，代表电流达到最大值，对应电阻最小）。然而回路里并非没有电阻，事实上，满偏电流是 。根据等效替代法的思想（或者说是串联电路电阻与电压的比值关系），假设我们接入一个电阻等于内阻的待测电阻，如果电源电动势不变，那么内阻和外阻应各分一半的电流，此时欧姆表指针指向中间位置，即欧姆表该档对应的中点读数是欧姆表的内阻。

电桥法测电阻

又称惠斯通电桥（），最初由克里斯蒂发明，但因惠斯通是首个用它测量电路的科学家才得名惠斯通电桥。该方法因其较高的灵敏度而在医疗诊断、电路检测等领域有着巨大作用。电桥法测电阻的底层思想和下面这张梗图有着千丝万缕的联系：

电压负责压力电子，使之运动，运动的电子形成了电流。电桥法就是这样一个通过巧妙配比电阻的求解未知电阻的方法。

电桥法基本原理

电桥法的基本电路如下（电压表也可换成电流表）：

当电压表两端的电压相同时，即两端电压差为 时，自然会有示数为零。电桥法的核心在于让电压表的示数为零，通常来说，上图的四个电阻有一个是可调的电阻、两个是定值电阻、最后一个是待测电阻。

根据电路图可知，上下两条支路的分压是相同的。要想让电压表接头处的电压相同，我们就必须让上边两个电阻的分压、下面两个电阻的分压相同。根据串联电路知识可知，我们要让 。如果两个是定值电阻，再用可变电阻调整至示数为零时，就可以计算出待测电阻的阻值了。

伏伏法

芙芙法

伏伏法，是一种使用两个电压表测量未知电阻的方法。使用该方法的好处是：尽管使用的电表并非理想电表，这种方法仍然能够得到电阻的准确值。

伏伏法基本原理

第一种方式的基本电路图如下：

第一个电压表用来测量外电压、第二个用来测量电阻两端电压。根据电阻定义式 ，我们需要想办法表示出流过待测电阻的电流大小。

假设此时测得外电压为 ，未知电阻两端电压为 。可以知道滑动变阻器两端电压为 ，接着可以根据滑动变阻器的阻值（假设为 ）推算出干路电流为 ，此时再根据串联电路中电流处处相等可知未知电阻的阻值为 。

第二种方式的基本电路图如下：

此时电压表接在滑动变阻器两端，同样作差表示出待测电阻两端的电压为 ，再用滑动变阻器的阻值表示出电流为 ，就可以算出待测电阻为 。

安安法

与伏伏法相对，也有一种使用两个电路板测量未知电阻的方法。这个方法的核心是表示出流经待测电阻的电流大小。好处同样是不受非理想电表内阻的影响。

安安法基本原理

第一种方式的基本电路图如下：

作差得到流经待测电阻的电流为 ，又根据滑动变阻器的阻值 算出支路电压为 ，计算得到待测电阻阻值为 。

第二种方式的基本电路图如下：

直接读出流经待测电阻的电流为 ，作差得到流经滑动变阻器的电流 ，进而表示出支路电压为 ，计算得到待测电阻为 。

半偏法

半偏法是一种巧妙测定电表内阻的方法，它通过平分电压/电流的方法等效出电表的内阻。但只有电表才存在表盘和指针，因此该方法只能用于测定电表的内阻。与上面介绍的伏伏法和安安法相比，这种方法操作较为繁琐，而且误差是不可避免的。学习该方法，重点在于弄懂如何分析两种半偏法的误差。

限流式半偏法 / 电流表半偏法

顾名思义，这种方法利用限流式电路来测量电流表的内阻。其基本电路图如下：

首先断开电阻箱的支路开关，并接通干路，调整滑动变阻器直到电流表满偏。接下来保持滑动变阻器的滑片不动，接通支路，此时电流表示数应有所下降，再调整支路上的电阻箱直到电表指向中心刻度，记电阻箱的阻值为 。此时即测得电流表内阻为 。

从电路本身的角度解释就是，电阻箱与电流表平分干路电流，按照并联电路分流规律可得 。

分压式半偏法 / 电压表半偏法

与上面的方法相对，这种方法用分压式解法来测量电压表内阻。基本电路图如下：

首先需要将电阻箱的电阻调至零，这一步其实相当于断连电阻箱，并调整滑动变阻器至电压表满偏。接下来保持滑动变阻器滑片不动，调整电阻箱直到电压表指针指向中心刻度，记录下电阻箱阻值 。电压表内阻即为 。

与电流表半偏法相似，该方法中电阻箱与电压表平分电压，根据串联电路分压规律，可得 。

误差分析

两种方法看起来都很有道理，然而事与愿违，两种方法都或多或少有误差的影响。电流表半偏法在滑动变阻器阻值较小时误差较大；电压表半偏法在滑动变阻器阻值较大时误差较大。可总结成一句口诀：“大牛流小鸭压，误差相反”，即滑动变阻器阻值大时用电流表半偏法，测得阻值偏小；滑动变阻器阻值小时用电压表半偏法，测得阻值偏大。

让我们分析一下两种方法的误差来源：

1. 对于电流表半偏法，假设满偏电流为 ，关闭支路开关后电阻箱并联进来，此时总电阻是减小的（未并联时看作断路，阻值无穷大），因而总电流偏大。调整电阻箱让通过电流表的电流变成准确的 ，考虑到总电阻增大了，那么流经电阻箱的电流将略大于 。根据并联电路电阻与分流的关系，可得电阻箱阻值小于电流表内阻，直接用测量值替换显然让结果偏小。
2. 对于电压表半偏法，假设满偏电压为 ，调整电阻箱使之阻值变大，此时总电阻将变大（串联、并联、混联电路中任意一个阻值增大，总电阻均增大），因而外电压偏大（注意不是电动势，电动势是由电池本身性质决定的，与外电路无关）。调整电阻箱让电压表两端的电压为准确的 ，此时电阻箱分压应略大于 。根据串联电路电阻与分压的关系，可得电阻箱阻值大于电压表内阻，替代后所得测量值偏大。

那么如何去解决这个问题呢？或者说是，为什么要在电流表半偏法中应用大滑动变阻器，而在电压表半偏法中应用小滑动变阻器。

1. 在电流表半偏法中，滑动变阻器是串联在干路中的。假设电表内阻为 ，电表调至满偏后滑动变阻器的阻值为 ，电阻箱最终阻值为 。那么接通支路开关后，总电阻就会从原先的 来到 。前后电流之比为 ，我们的目标是让比值尽可能接近 ，那么当 且 时，并联新电阻的影响较小（无法完全消除）。所以应在电流表半偏法中使用大滑动变阻器。
2. 在电压表半偏法中，滑动变阻器是并联在干路中的。假设电表内阻为 ，满偏后滑动变阻器的阻值为 ，电阻箱最终阻值为 。那么在调整电阻箱时，总电阻将从 （写成这种形式是为了方便观察大小变化）变成 。前后电压之比为 ，目标是让比值接近 ，那么当 且 时，串联新电阻的影响较小（无法完全消除）。所以应在电压表半偏法中使用小滑动变阻器。

后记 & 闲话

本文于 2 月 13 日开始写作，写至 3 月 1 日终稿，前后经历半个月。写作如此缓慢的原因主要还是学业缠身，我所在寄宿制学校的一大特点是——只要周日上午进了学校，你就只能一直学习到周六上午，周六下午在校的三个小时才是属于自己的时间。这三个小时里，大部分学生会选择在教室里写作业，我则是腆着个脸上楼在曾经呆过的竞赛机房里写作。如此如此这般这般多多少少练就了神速打字和作图的技能。

如果有机会，我可能会在文末或是开头附上一张在教室里用电子屏多用电表测全身电阻和电压的图片

另：祝 GGapa 省选顺利，我们会在后面给你撑着文化课！