圆锥曲线 常用二级结论附证明过程

前言

做这篇文章最初的缘由，似乎也早已忘却了，大抵是期中时拍拍脑子生出的主意，然终竟无法再考究了……然而既已入年，我想自己许是有些寂寞而无所事事了。恰逢 A 君邀我做一篇圆锥曲线的文章，他仿佛有点谑我的意思，欲以此指代方才过去的令人悲哀的数学考题，我举起手机只是说：

“假如一道圆锥曲线填空压轴，它是没有常数且万难算出的，考场上有许多没背二级结论的高中生，见到就跳过了，然而是舍小保大，并不感到挂科的悲哀。现在你教他们背二级结论，说动了想冲高分的几人，使这不幸的少数者来受知晓结论而仍解不出的可能挂科的苦楚，你倒以为对得起他们么？”

“然而几个人既然背了，你不能说决没有解出这个题的希望。”

是的，我虽然自有我的确信，然而说到希望，却是不能抹杀的。因为希望是在于将来，决不能以我之必无的证明，来折服了他之所谓可有，于是我终于答应他也做圆锥曲线的文章了。

二零二五年一月十七日，记于成都

椭圆 基础二级结论

若无特殊说明，椭圆标准方程 均满足 ，焦点在 轴上。且若无特殊指明，“椭圆 ”均指上述的椭圆 。

通径

在椭圆 中，与焦点所在轴垂直的焦点弦被椭圆截得线段的长称作其通径。椭圆的通径长 。

评析：直接将横坐标 代入即可解得纵坐标，通径长为纵坐标绝对值的二倍。

证明：

横坐标 代入椭圆解析式：

得到 。

因为在椭圆中有 ，因此 ，椭圆离心率还可以表示成 。代入得：

此时 。

证毕。

圆周定理

在椭圆 中， 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上异于 的一点。那么直线 的斜率之积为 。

评析：也不需要什么特殊的技巧，就是设点硬算。这个结论是必背的经典二级结论之一。

证明：

设 。那么两直线斜率之积可以表示为 ，即：

三点都在椭圆上，代入椭圆解析式得关系式：

将 和 用 表示出来：

证毕。

拓展变形：我们默认椭圆的焦点位于 轴，那万一焦点在 轴上呢？首先我们需要保证较大的分母为 ，较小的为 ，例如 ，此时 ，现在的两直线斜率之积为 ，即 ，分子分母调换了！做题时一定要注意，证明方法同上。

广义垂径定理/中点弦公式

在椭圆 中， 为椭圆上两点， 为弦 的中点，那么直线 与直线 的斜率之积为 。

评析：处理中点的方法一共有两个——常规联立法和点差法。此处我们使用第一种，因为韦达定理可以很轻松的表示出中点的坐标；同时设出直线 代表我们可以只用一个 表示其斜率，由于 过原点，表示它的斜率也是容易的。那我们就开始吧。

证明：

设直线 。斜率不存在时无意义，故斜率一定存在。联立方程：

得：

根据韦达定理得：

因此 。得到斜率乘积为 。

证毕。

拓展变形：易错点与上一个结论相同，焦点所在坐标轴改变后，乘积会从原先的 变成 。

焦半径公式

令 为椭圆 的左右焦点， 为椭圆上一点，那么 。其中 ，即椭圆的离心率。

评析：这个结论其实就是椭圆第二定义的变形式，不信你看。

证明：

先证 。对于 来说，对应的准线为直线 。根据椭圆第二定义有：

再证 。其实根据椭圆第一定义 即可推出它，但是我们继续用第二定义推导。此时对应的准线是直线 ：

证毕。

拓展变形：焦点在 轴上时，结论变为 。

焦点三角形相关

椭圆的左右焦点 与椭圆上一点 组成的三角形 称作这个椭圆的焦点三角形。

本节中出现的角 若无特殊说明均指代 。

取值范围

焦点三角形 中，。

评析：前两个非常好证，他们理论上在 与左右端点重合时取到最值，但是此时 三点共线，因此不是三角形，所以是开区间。对于第三个，乘积的取值范围，则需要基本不等式。

证明：

根据基本不等式有：

证毕。

周长

焦点三角形 的周长 。

评析：根据椭圆的第一定义来的，。

面积

焦点三角形 的面积 。

评析：出现角度和面积，我们需要想到正/余弦定理。根据正弦定理的三角形面积公式 以及余弦定理的 ，我们可以解决大部分与边长和角度有关的圆锥曲线证明/求值问题。

证明：

由正弦定理得，。

在 中运用余弦定理：，得到 。

同时根据完全平方公式，，代入上式移项解得 ，根据面积公式可得 。

证毕。

拓展变形：三角函数的半角公式（附证明）。

——正/余弦半角公式

根据余弦倍角公式的变形式 ，将 换成 ， 换成 即得 ，。

同理，对于正弦函数，有 。

——正切半角公式

由正切函数定义可得 ，利用三角函数的升幂，也就是上面导出正余弦半角公式时使用的余弦倍角公式，分子分母同乘 可得：。

因此证明面积公式时出现的 可以换成 。三个公式汇总起来就是：

内切圆

焦点三角形 的内切圆半径为 ，已知半径也可求出顶角 。

评析：这一条其实也没什么，主要是正弦定理的运用。因为在三角形中 ，其中 就是内切圆半径。将 所对的边 的长度代入即可证得该结论。

离心率公式

令焦点三角形 的底角 ，那么椭圆的离心率 。

评析：有角有边，当然考虑正余弦定理。

证明：

易知此时 。根据正弦定理有 。在椭圆中又有 ，那么 。

代入连等式中，得到 ，根据后两项可以解出 ，此时代入第二项得到 。

此时 。

证毕。

双曲线 基础二级结论

若无特殊说明，双曲线标准方程 ，满足 ，焦点在 轴上。且若无特殊说明，“双曲线 ”均指上述的标准双曲线 。

通径

在双曲线 中，与焦点所在轴垂直的焦点弦被双曲线截得线段的长称作其通径。双曲线的通径长 。

评析：与椭圆证法相同。

证明：

将横坐标 代入得 。因为双曲线满足 ，可以推导出 。那么 ，得到 。此时通径长为 。

证毕。

圆周定理

在双曲线 中， 是双曲线上关于原点对称的两点， 是双曲线上异于 的一点。那么直线 的斜率之积为 。

评析：双曲线有关二级结论的证明思路和椭圆基本相同，这里我们沿用椭圆的证明方法继续硬算。

证明：

设 ，那么：

三点都在双曲线上，得到：

代入得：

证毕。

拓展变形：焦点所在坐标轴改变时同样要变成 。

广义垂径定理/中点弦公式

在双曲线 中， 为双曲线上两点， 为弦 的中点，那么直线 与直线 的斜率之积为 。

评析：同样使用椭圆的证明方法

证明：

令直线 ，斜率不存在时无意义，故斜率存在。联立直线和双曲线方程：

得到：。韦达定理得 。

得到中点坐标 ，此时斜率之积表示为：

证毕。

拓展变形：焦点在 轴上时对应的乘积是 。

焦半径公式

令 为双曲线 的左右焦点， 为双曲线上一点， 在右支上时有 ；在左支上时有 。

评析：双曲线第二定义的变形

证明：

当 在右支时，根据第二定义，有 ，得到 ，然后根据双曲线中 可得 。

同理可以证得左支公式。

证毕。

拓展变形：焦点在 轴上时要把 换成 。

渐近线相关

过原点且在无穷远处与双曲线的距离无限趋近于 的两条直线叫做这个双曲线的渐近线。焦点在 轴上时渐近线的解析式为 ；若在 轴上则为 ，即 。

焦点-渐近线距离

双曲线的焦点与任意一条渐近线的距离均为 。

评析：使用点到直线的距离公式证明。

证明：

左焦点 ，到渐近线 的距离为：

证毕。

焦点三角形相关

双曲线的左右焦点 与双曲线上一点 组成的三角形 称作这个双曲线的焦点三角形。

本节中出现的角 若无特殊说明均指代 。

周长

焦点三角形 的周长为 。

评析：根据前面所证明的焦半径公式可得这个结论。

面积

焦点三角形 的面积为 。

证明：

正弦定理得：。余弦定理得：，得到 。根据完全平方公式，有 ，联立可得 ，解得 。代入面积公式得 。

证毕。

拓展变形：余切的半角公式证明。

离心率公式

令焦点三角形 的底角 ，那么双曲线的离心率为 。