前言#

他只需略微现身，考生瞬间变圆神；只需给他一个不定参，他能把数学题做成英语题；给他一个定值证明，他能逼出考生使用伪证大法。不是含参韦达算不起，而是伪证算法更有性价比。有人说椭圆双曲线简单，新高考I卷丝带线表示不服。对此，五星上将麦克阿瑟评价道：“如果当年美军的考试卷没有圆锥曲线压轴题，美军战士一定能在圣诞节之前回家”。那么，圆锥曲线到底有何魔力？大型纪录片《圆锥曲线传奇》持续为您播出……

向量叉乘#

2024 新高考 I 卷 T16

已知 $A(0,3)$ 和 $P(3,\frac{3}{2})$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上两点。

1. 求 $C$ 的离心率
2. 若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$，且 $\triangle ABP$ 的面积为 ${9}$，求 $l$ 的方程

首先根据题目数据联立方程解得圆锥曲线方程：$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$，因此椭圆的离心率就是 $\frac{\sqrt2}{2}$。

第二题一般都是设出直线方程并联立求解。考虑到这里给出了三角形上两点和一个面积，毅然使用向量叉乘试水！

向量叉乘的定义为 $\vec a\times\vec b=|\vec a||\vec b|\sin\theta$。可以理解为平面直角坐标系上两个向量围成的平行四边形面积，是一个只有大小的标量。这篇文章提到了有关向量叉乘的一些内容。简而言之，叉乘的简记方法是：将两个向量平铺在两行，变成 $\begin{array}{}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{array}$ 的形式，然后“斜线相乘再相减”，即 $x_1y_2-y_1x_2$ 的绝对值就是叉乘运算的结果。

因为三角形的面积等于向量围成的平行四边形面积的一半，也就是说 $S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}||\vec{AP}|\times|\vec{PB}||=9,\vec{AP}=(3,-\frac{3}{2})$。设出 $B$ 点坐标为 $(x,y)$，得到：

把 $y$ 用 $x$ 表示出来（或反之）马上就可以解得 $B(0,-3)$ 或 $B(-3,-\frac{3}{2})$。因此两个直线方程就是 $y=\frac{1}{2}x$ 或 $y=\frac{3}{2}x-3$。

把叉乘写上去之前需要先证明其正确性（毕竟高中课本里面没教过），证明方法很简单：

$$\begin{aligned} S_{\triangle ABP}&=|AB|\cdot|AP|\cdot\sin\theta \\&=|AB|\cdot|AP|\sqrt{1-\cos^2\theta} \\&=|AB|\cdot|AP|\sqrt{1-\frac{(\vec{AB}\cdot\vec{AP})^2}{|AB|^2|AP|^2}} \\&=\sqrt{|AB|^2|AP|^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AP})^2} \end{aligned}$$

假设 $\vec{AB}=(x_1,y_1)$，$\vec{AP}=(x_2,y_2)$。就有：

$$\begin{aligned} S_{\triangle ABP}&=\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)-(x_1x_2+y_1y_2)^2} \\&=\sqrt{x_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2+y_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2-x_1^2x_2^2-2x_1x_2y_1y_2-y_1^2y_2^2} \\&=\sqrt{\bcancel{x_1^2x_2^2}+x_1^2y_2^2+y_1^2x_2^2+\bcancel{y_1^2y_2^2}-\bcancel{x_1^2x_2^2}-2x_1x_2y_1y_2-\bcancel{y_1^2y_2^2}} \\&=\sqrt{x_1^2y_2^2-2x_1x_2y_1y_2+y_1^2x_2^2} \\&=|x_1y_2-x_2y_1| \end{aligned}$$