[奇技淫巧] 如何优雅地秒圆锥曲线大题

前言#

他只需略微现身，考生瞬间变圆神；只需给他一个不定参，他能把数学题做成英语题；给他一个定值证明，他能逼出考生使用伪证大法。不是含参韦达算不起，而是伪证算法更有性价比。有人说椭圆双曲线简单，新高考I卷丝带线表示不服。对此，五星上将麦克阿瑟评价道：“如果当年美军的考试卷没有圆锥曲线压轴题，美军战士一定能在圣诞节之前回家”。那么，圆锥曲线到底有何魔力？大型纪录片《圆锥曲线传奇》持续为您播出……

向量叉乘#

2024 新高考 I 卷 T16

已知 和 为椭圆 上两点。

1. 求 的离心率
2. 若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 ，求 的方程

首先根据题目数据联立方程解得圆锥曲线方程：，因此椭圆的离心率就是 。

第二题一般都是设出直线方程并联立求解。考虑到这里给出了三角形上两点和一个面积，毅然使用向量叉乘试水！

向量叉乘的定义为 。可以理解为平面直角坐标系上两个向量围成的平行四边形面积，是一个只有大小的标量。这篇文章提到了有关向量叉乘的一些内容。简而言之，叉乘的简记方法是：将两个向量平铺在两行，变成 的形式，然后“斜线相乘再相减”，即 的绝对值就是叉乘运算的结果。

因为三角形的面积等于向量围成的平行四边形面积的一半，也就是说 。设出 点坐标为 ，得到：

把 用 表示出来（或反之）马上就可以解得 或 。因此两个直线方程就是 或 。

把叉乘写上去之前需要先证明其正确性（毕竟高中课本里面没教过），证明方法很简单：

假设 ，。就有：