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环 顾名思义，环就是环 一般研究较多的是三元环和四元环计数。题目给定一张无向图，让你直接或间接地求图中有多少个不同的三元/四元环。形式化的，给定一张无向图，统计出满足要求的无序对 或 的个数，无序对需满足图中存在仅由点 或 组成的环。而且它还喜欢和容斥一起考（属实是出生到家了）。 三元环计数 对于三元环计数，我们有很好的算法可以解决，还能够顺带给出三元环的组成点分别是哪些。基本思路如...

您已获得最佳的阅读体验！ 题目地址：P6669 看到超大组合数对质数取模首先考虑朴素 定理，定理内容如下： 其中第一项可以继续递归。但是这里要涉及到 定理的另外一个意义——发现这个公式实质上是在对 进行 进制分解。整个组合数可以看作是将 转换为 进制后对位求组合数然后累乘得到的，即： 其中 为 在 进制下位数的最大值，若位数不够则将该位看作 。 如果一个数要是 的倍数...

排列数与组合数 排列组合基础 对于一个正整数 ，它的阶乘等于 ，记作 。特殊地，。 小学时我们就知道，用 三个数字最多能表示出 个互不相同的三位数字；若改为 组成四位数，那么答案就该是 种。这其实就是排列数的一个经典应用。探究这个答案是怎么得到的——对于第一个位置，可以有 种填数方法；对于第二个位置，因为先前已经用掉一个数了，此时可选的数就只剩 个，根据分步乘法原理，就应该乘上 ...

中国剩余定理 《孙子算经》有云： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 大意为：有 个物品，满足如下线性同余方程组： 刚入坑编程的估计在“循环结构”那一章里就写过求解这个方程的枚举代码了。这种方式不好的一点就是码量随方程数的增多而膨胀（但是你可以写一个生成计算代码的程序，然后运行编译后的程序）。我们急需一种通解，在码量不增的情况下实现对这个方程组的求解。 ...

欧拉函数 欧拉函数 ，表示 内与 互质的数的个数。对于质数 显然有 。特殊地，。欧拉函数是一个积性函数，对任意互质的数 ，都有 。不互质时，如果 为奇数，那么有 。 如果 可以用算术基本定理分解成 的形式，那么 。注意，若 可以被同一个质数反复除尽，即存在一个 和 使得 ，计算时同样只对这个质数计算一次贡献。 证明： 正难则反，考虑用 内的所有数的个数减去不互质的数的个数...

您已获得最佳的阅读体验！ 题目原型谜题解法浅究（ 的情况） 题目地址 本题考察模意义下的高斯消元。 基本思路是，让 号方块分别击打 次，使得最终每个方块都朝向位置 。 欲解决此题，首先需要为每个位置编号。定义 为“击打 方块后， 均会旋转一次”。那么样例输入 #1 如下图（编号方式不唯一），红线为目标方向、初始时均在 朝向： 假设三个方块需要击打 次，那么可以列出以下方程组：...

欧几里得算法 众所周知的是，欧几里得算法可以用来求解最大公约数。它的核心是一个恒等式 ，并且在 时函数值是 。C++14 标准提供一个函数 __gcd() 来求解最大公约数，而在 C++17 以后，我们可以使用 gcd() 和 lcm() 函数来求解两个数的最大公约数和最小公倍数。 通常我们采用递归版本： 123int gcd(int a, int b) { return b ? g...

基本定理 算术基本定理 任何一个合数均可被唯一分解成若干质数的乘积。 也就是说任何合数都可以唯一地表示成 的形式，这条定理在之后的质数筛中有大用。 素数定理 中的质数个数约等于 可以用来粗略估计在当前数据范围下质数的个数，以便更具有针对性的选用质数筛法。据说这个定理有一个非常初等的证明，仅涉及到极限、自然对数函数和指数函数的一些简单性质（子供向），非常适合初中生茶余饭后作为谈资...

数位DP 简介 数位DP是一种基于按位枚举的计数类DP。一般来说，当题目要求对所有符合特殊性质的数字计数（且这些性质可以转化到数位上讨论）、对给定区间内的合法数做统计、数据范围中出现了超大的上界时，就可以考虑使用数位DP来进行求解。 数位DP的时间复杂度基本上是 级别的，其中 为状态数，可以看作是记忆化搜索数组每一维上界的总乘积。因此在大多数情况下它能做得很好。 数位DP 基本实现 数位...